نوشتار_محتوا
۳ سال، ۶۰ روز، ۵ ساعت و ۵۲ دقیقه - Wikibadmin

فرآیند کاملا تصادفی (Completely Stochastic Process)

نسخهٔ تاریخ ‏۲۲ سپتامبر ۲۰۲۱، ساعت ۱۹:۵۵ توسط Wikibadmin (بحث | مشارکت‌ها)

مفهوم:

والد:

بعد:

فرزند:

لید

متغیرهای تصادفی با مجموعه‌ای از اعداد همراه بوده و یا شاخص‌بندی می‌شوند، که معمولاً به صورت نقاطی در زمان دیده می‌شوند و یک فرایند تصادفی را تفسیر می‌کنند که نشان‌دهنده مقادیر عددی از برخی سیستم‌های متغیر طی زمان است. یک فرآیند تصادفی را می‌توان به روش‌های مختلف طبقه‌بندی کرد. برای مثال بر اساس فضای حالت آن، مجموعه شاخص آن یا وابستگی بین متغیرهای تصادفی. هنگام تفسیر به عنوان زمان، اگر مجموعه شاخص فرایند تصادفی، تعداد عناصر محدود یا قابل شمارش مانند مجموعه متناهی اعداد، مجموعه اعداد صحیح یا اعداد طبیعی داشته باشد، گفته می‌شود که فرایند تصادفی در زمان گسسته قرار دارد. اگر مجموعه شاخص مربوط به بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد، زمان را پیوسته در نظر می‌گیرند. این دو نوع فرایند را به‌ترتیب، فرایندهای تصادفی زمان‌-گسسته و زمان-پیوسته می‌نامند. یکی از روش‌های رایج طبقه‌بندی، استفاده از تعداد عناصر مجموعه شاخص و فضای حالت است. فرایندهای تصادفی مشهور عبارتند از فرآیند برنولی، گام تصادفی و فرآیند وینر.

تعریف به حد

فرایندهای کاملا تصادفی و عدم قطعیت قابل مشاهده محدود، منشاٌ عدم قطعیت هستند. فرآیندهای تصادفی به روش‌های مختلف طبقه‌بندی می‌شود. اگر مجموعه شاخص فرایند تصادفی، تعداد عناصر محدود یا قابل شمارش مانند مجموعه متناهی اعداد، مجموعه اعداد صحیح یا اعداد طبیعی داشته باشد، گفته می‌شود که فرایند تصادفی در زمان گسسته قرار دارد. اگر مجموعه شاخص مربوط به بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد، زمان  پیوسته در نظر گرفته می‌شود.

وجوه افتراق یا شقوق مختلف

فرآیندهای کاملا تصادفی از لحاظ رشته به عدم قطعیت (ریسک) در علوم مالی و عدم قطعیت در سایر رشته ها تقسیم می‌شوند. فرآیندهای کاملا تصادفی، به همراه عدم قطعیت قابل مشاهده محدود، منشاٌ عدم قطعیت هستند. عدم قطعیت تعاریف مختلفی دارد. برخی تعاریف بر احتمال وقوع یک رویداد متمرکز شده‌اند، برخی دیگر به عدم ‌قطعیت نتایج مثبت یا منفی تمرکز یافته‌اند و برخی دیگر ریسک را به عنوان زیرمجموعه‌ای از عدم‌قطعیت، در نظر گرفته‌اند که قابل سنجش می‌باشد. در صنعت مالی، دیدگاه به ریسک متفاوت است. در این صنعت، ریسک شامل عدم‌قطعیتی است که پیامدهای نامطلوب بر درآمد یا ثروت دارد و به عبارت دیگر، ریسک شامل عدم‌ قطعیت مربوط به پیامدهای منفی است.

فهرست مطالب

مقدمه

در نظریه احتمال و موضوعات مربوط به آن، فرایند تصادفی یک موضوع ریاضی مطرح می‌شود که معمولاً به عنوان خانواده‌ای از متغیرهای تصادفی تعریف می‌گردد. از نظر تاریخی، متغیرهای تصادفی با مجموعه‌ای از اعداد همراه بوده و یا شاخص‌بندی می‌شوند، که معمولاً به صورت نقاطی در زمان دیده می‌شوند و یک فرایند تصادفی را تفسیر می‌کنند که نشان‌دهنده مقادیر عددی از برخی سیستم‌های متغیر طی زمان است؛ مانند رشد جمعیت باکتری‌ها، جریان الکتریکی متغیر در اثر نوسانات حرارتی یا حرکت یک مولکول گاز. فرایندهای تصادفی به عنوان مدل‌های ریاضی سیستم‌ها و پدیده‌هایی که بر اساس رفتار تصادفی تغییر می‌کنند، به طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرند. این فرایندها در بسیاری از رشته‌ها از جمله علوم زیست‌شناسی، شیمی، بوم‌شناسی، علوم اعصاب و فیزیک و نیز رشته‌های فنی و مهندسی مانند پردازش تصویر، پردازش سیگنال، نظریه اطلاعات، علوم رایانه، رمزنگاری و ارتباطات کاربرد دارند. به‌علاوه تغییرات تصادفی در بازارهای مالی انگیزه استفاده گسترده از فرایندهای تصادفی در رشته مالی را نیز فراهم آورده است.

کاربردها و مطالعه پدیده‌ها به نوبه خود الهام‌بخش پیشنهاد فرایندهای تصادفی جدید است. نمونه‌هایی از چنین فرایندهای تصادفی عبارتند از: فرایند وینر یا حرکت براونی، که توسط لوئیس باچلر[۱]  برای مطالعه تغییرات قیمتی در بورس پاریس استفاده شد و فرایند پواسون که توسط آگنر کراروپ ارلانگ[۲]  برای مطالعه تعداد تماس‌های تلفنی صورت گرفته در یک دوره زمانی معین به کار گرفته شد. این دو فرایند تصادفی مهم‌ترین و محوری‌ترین موارد در نظریه فرایندهای تصادفی به حساب می‌آیند و به طور مکرر و مستقل، قبل و بعد از باچلر و ارلانگ، در وضعیت‌ها و کشورهای مختلف کشف شده بودند.

می‌توان یک فرایند تصادفی را به عنوان مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی تعریف نمود که توسط برخی از مجموعه‌های ریاضی شاخص‌بندی می‌شود، یعنی هر متغیر تصادفی از فرایند تصادفی به طور منحصربه فرد با یک عنصر مجموعه در ارتباط است. مجموعه‌ای که برای شاخص‌بندی متغیرهای تصادفی استفاده می‌شود مجموعه شاخص  نامیده می‌شود. از نظر تاریخی، مجموعه شاخص زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی مانند اعداد طبیعی است که به مجموعه شاخص [۳]تفسیر زمانی می‌دهد. هر متغیر تصادفی در این مجموعه، مقادیری  از همان فضای ریاضی معروف به فضای حالت  می‌گیرد. برای مثال فضای حالت[۴] می‌تواند اعداد صحیح، اعداد حقیقی یا فضای اقلیدسی n بعدی باشد. نمو یا رشد[۵]  مقداری است که یک فرایند تصادفی بین دو مقدار شاخص تغییر می‌کند که اغلب به عنوان دو نقطه در زمان در نظر گرفته می‌شود. یک فرایند تصادفی به دلیل تصادفی بودن می‌تواند پیامدهای بسیاری داشته باشد و یک پیامد واحد از یک فرآیند تصادفی یک تابع نمونه[۶]  یا تحقق  [۷]نامیده می شود.

کنند.

۲ـ تاریخچه

۲-۱- نظریه اندازه و نظریه احتمال

در سال ۱۹۰۰ دیوید هیلبرت، فهرستی از مسائل ریاضی را در کنگره بین‌المللی ریاضیدانان در پاریس ارائه کرد و در مسئله ششم خواستار ساختار اصل موضوعی ریاضیات برای فیزیک و در نظر گرفتن احتمالات در آن شد. در اوایل قرن بیستم، ریاضیدانان نظریه اندازه [۸] را به عنوان شاخه‌ای از ریاضیات برای بررسی انتگرال‌های توابع ریاضیاتی توسعه دادند و در این میان دو ریاضیدان فرانسوی، به نام‌های هنری لبگ[۹]  و امیل بورل[۱۰]  جزو بنیانگذاران اصلی در این زمینه به شمار می‌آیند. در سال ۱۹۲۵، ریاضیدان فرانسوی دیگری به نام پاول لوی[۱۱] ، اولین کتاب درباره احتمال را منتشر نمود و در آن از ایده‌های نظریه اندازه استفاده کرد.

در دهه ۱۹۲۰ نظریه احتمال در اتحادیه جماهیر شوروی توسط ریاضیدانانی چون سرگی برنشتاین[۱۲] ، الكساندر خینچین[۱۳]  و آندری كولموگروف[۱۴]  توسعه یافت. کولموگروف در سال ۱۹۲۹ اولین تلاش خود را برای ارائه یک پایه ریاضی برای نظریه احتمال، بر مبنای نظریه اندازه منتشر کرد. در اوایل دهه ۱۹۳۰، خینچین و کولموگروف سمینارهایی در زمینه احتمال برگزار کردند که افرادی همچون یوجین اسلوتسکی[۱۵]  و نیکولای اسمیرنوف[۱۶]  در آنها شرکت می‌کردند. خینچین اولین تعریف ریاضیاتی از یک فرایند تصادفی را به عنوان مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی شاخص‌بندی شده به وسیله اعداد حقیقی ارائه داد

۲-۲- ظهور نظریه احتمال نوین

در سال ۱۹۳۳ آندری کولموگروف کتاب خود درباره مبانی نظریه احتمال با عنوان "مفاهیم اساسی نظریه احتمال[۱۷] " را به زبان آلمانی منتشر کرد و در آن از نظریه اندازه برای ایجاد یک چارچوب اصول موضوعه برای نظریه احتمال استفاه کرد. امروزه انتشار این کتاب را منشأ پیدایش نظریه احتمال نوین می‌دانند که در آن نظریه‌های احتمال و فرایندهای تصادفی به بخشی از ریاضیات تبدیل شدند. پس از انتشار کتاب کولموگروف، کارهای بنیادی بیشتری درباره نظریه احتمال و فرایندهای تصادفی توسط خینچین و کولموگروف و ریاضیدانان دیگری همچون ژوزف دوب[۱۸] ، ویلیام فلر [۱۹]، موریس فرش[۲۰] ، پاول لوی [۲۱]، ولفگانگ دوبلین[۲۲]  و هارالد کرامر[۲۳]  انجام شد. چند دهه بعد، کرامر از دهه ۱۹۳۰ به عنوان دوره قهرمانانه نظریه احتمال ریاضی یاد کرد. با وقوع جنگ جهانی دوم، توسعه نظریه احتمال نیز متوقف شد، زیرا وقایعی همچون مهاجرت فلر از سوئد به ایالات متحده امریکا و مرگ دوبلین رخ داد که به عنوان افراد پیشگام در زمینه فرایندهای تصادفی به شمار می‌آیند.

۲-۳- نظریه احتمال پس از جنگ جهانی دوم

پس از جنگ جهانی دوم، بررسی نظریه احتمال و فرایندهای تصادفی توسط ریاضیدانان مورد توجه بیشتری  قرار گرفت و سهم قابل ملاحظه‌ای در بسیاری از رشته‌های احتمال و ریاضیات و نیز ایجاد رشته‌های جدید ایفا کرد. کیوشی ایتو[۲۴]  از دهه ۱۹۴۰، مقالاتی درباره حساب دیفرانسیل و انتگرال تصادفی منتشر کرد که شامل انتگرال تصادفی و معادلات دیفرانسیل تصادفی مبتنی بر فرایند وینر یا حرکت براونی بود.

با شروع دهه ۱۹۴۰، بر اساس ایده‌های اولیه شیزو کاکوتانی[۲۵]  و کارهای بعدی ژوزف دوب، بین فرآیندهای تصادفی، به‌ویژه مارتینگل، و بحث ریاضی نظریه پتانسیل، ارتباط برقرار شد. همچنین کارهای بیشتری در این زمینه توسط گیلبرت هانت[۲۶]  در دهه ۱۹۵۰ انجام شد و فرآیندهای مارکوف و نظریه بالقوه را به هم پیوند داد که تأثیر به‌سزایی در نظریه فرایندهای لوی داشت و باعث شد تا گرایش بیشتری به مطالعه فرایندهای مارکوف با روش‌های ایجاد شده توسط ایتو پدید آید.

در سال ۱۹۵۳ دوب کتاب خود را با عنوان فرایندهای تصادفی منتشر کرد، که تأثیر زیادی بر نظریه فرایندهای تصادفی داشت و بر اهمیت نظریه اندازه در احتمال تأکید کرد. دوب همچنین نظریه مارتینگل را توسعه داد که بعدها نیز پاول-آندره میر [۲۷] نقش به‌سزایی در این زمینه ایفا کرد. پیش از آنها کارهایی توسط سرگئی برنشتاین، پاول لوی و ژان ویل انجام شده بود، به طوری که اصطلاح مارتینگل توسط ژان ویل برای فرایند تصادفی اتخاب شده بود. روش‌هایی از نظریه مارتینگل برای حل مسائل مختلف احتمالات رایج شد و نیز تکنیک‌ها و نظریه برای مطالعه فرایندهای مارکوف تدوین شد و سپس برای مارتینگل‌ها به کار گرفته شد. همچنین روش‌هایی از نظریه مارتینگل برای برررسی فرایندهای مارکوف ایجاد شده است.

۳- طبقه‌بندی

یک فرآیند تصادفی را می‌توان به روش‌های مختلف طبقه‌بندی کرد. برای مثال بر اساس فضای حالت آن، مجموعه شاخص آن یا وابستگی بین متغیرهای تصادفی. یکی از روش‌های رایج طبقه‌بندی، استفاده از تعداد عناصر مجموعه شاخص و فضای حالت است.

هنگام تفسیر به عنوان زمان، اگر مجموعه شاخص فرایند تصادفی، تعداد عناصر محدود یا قابل شمارش داشته باشد، مانند مجموعه متناهی اعداد، مجموعه اعداد صحیح یا اعداد طبیعی، گفته می‌شود که فرایند تصادفی در زمان گسسته قرار دارد. اگر مجموعه شاخص مربوط به بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد، زمان را پیوسته در نظر می‌گیرند. این دو نوع فرایند را به‌ترتیب، فرایندهای تصادفی زمان‌-گسسته و زمان-پیوسته می‌نامند. بررسی فرآیندهای تصادفی زمان-گسسته، آسان‌تر است، زیرا فرایندهای زمان-پیوسته به دانش و تکنیک‌های ریاضی پیچیده‌تری نیازی دارند، به‌ویژه اینکه مجموعه شاخص شمارش‌ناپذیر باشد. اگر مجموعه شاخص، اعداد صحیح یا زیرمجموعهای از آن باشد، می‌توان فرایند تصادفی را دنباله تصادفی نیز نامید.

اگر فضای حالت، اعداد صحیح یا اعداد طبیعی باشد، فرایند تصادفی یک فرایند تصادفی گسسته یا دارای مقدار عددی صحیح نامیده می‌شود. اگر فضای حالت، اعداد حقیقی باشد، آن فرایند تصادفی را یک فرایند تصادفی دارای مقدار عددی حقیقی یا فرایندی با فضای حالت پیوسته می‌گویند. اگر فضای حالت فضای اقلیدسی n بعدی باشد، فرایند تصادفی را یک بردار n بعدی یا یک فرآیند n برداری می‌نامند.

۴- فرایندهای تصادفی مشهور

۴-۱- فرایند برنولی

یکی از ساده‌ترین فرایندهای تصادفی، فرایند برنولی است که شامل دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان (idd) است و هر متغیر مقدار یک (در صورت موفقیت آزمایش) یا صفر (در صورت شکست آزمایش) را می‌گیرد. احتمال موفقیت آزمایش برابر p و احتمال شکست آن برابر p-۱=q است. این فرایند را می‌توان به پرتاب مکرر یک سکه مرتبط کرد که در آن احتمال آمدن روی سکه یعنی عدد یک برابر با p و احتمال آمدن پشت سکه یعنی صفر برابر با q است. به عبارت دیگر یک فرایند تصادفی، دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی برنولی مستقل با توزیع یکسان است و هر پرتاب سکه نمونه‌ای از آزمایش برنولی به شمار می‌آید.

۴-۲- گام تصادفی

گام تصادفی، یک فرایند تصادفی است که معمولاً به عنوان مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان یا بردارهای تصادفی در فضای اقلیدسی تعریف می‌شود. بنابراین فرایندی است که در زمان گسسته تغییر می‌کند. اما برخی نیز از این اصطلاح برای اشاره به فرایندهایی استفاده می‌کنند که در زمان پیوسته تغییر می‌کنند، به‌ویژه فرآیند وینر که در رشته مالی استفاده می‌شود و منجر به برخی ابهامات می‌شود که انتقاداتی را درباره آن پدید آورده است. انواع مختلفی از گام‌های تصادفی وجود دارد که به‌گونه‌ای تعریف شده‌اند که فضاهای حالت آنها می‌تواند اشیاء ریاضی دیگری همچون شبکه‌ها و گروه‌ها باشد. این نوع گام‌های تصادفی بسیار مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و در رشته‌های مختلف کاربرد دارند. یک مثال سنتی از گام تصادفی که به گام تصادفی ساده معروف است، یک فرآیند تصادفی در زمان گسسته با اعداد صحیح به عنوان فضای حالت است که مبتنی بر فرآیند برنولی است و هر متغیر برنولی مقدار مثبت یک یا منفی یک می‌گیرد. به عبارت دیگر، گام تصادفی ساده در اعداد صحیح اتفاق می‌افتد و مقدار آن یا یک واحد با احتمال p، افزایش می‌یابد یا یک واحد با احتمال q کاهش می‌یابد. بنابراین مجموعه شاخص این گام تصادفی، اعداد طبیعی است در حالی که فضای آن اعداد صحیح است. این گام تصادفی را یک گام تصادفی متقارن می‌نامند.

۴-۳- فرایند وینر

فرایند وینر یک فرایند تصادفی با افزایشهای ایستا و مستقل است که بر اساس اندازه افزایش‌ها به صورت نرمال توزیع می‌شوند. فرایند وینر به نام نوربرت وینر نامگذاری شده است که وجود ریاضی آن را ثابت کرد، ولی این به دلیل ارتباط تاریخی آن به عنوان الگویی برای حرکت براونی در مایعات به عنوان فرایند حرکت براونی یا حرکت براونی معروف شد.

فرایند وینر با ایفای نقش محوری در نظریه احتمال، اغلب با ارتباط به سایر فرایندهای تصادفی، مهم‌ترین فرایند تصادفی به شمار می‌آید که بسیار مورد مطالعه قرار گرفته است. مجموعه شاخص و فضای حالت آن به ترتیب اعداد غیرمنفی و اعداد حقیقی است. بنابراین دارای مجموعه شاخص و فضای حالت پیوسته است. البته می‌توان این فرایند را به شکل کلی‌تری تعریف کرد تا فضای حالت آن شامل فضای اقلیدسی n بعدی باشد. اگر میانگین هر افزایش برابر با صفر باشد، گفته می‌شود که فرایند وینر یا حرکت براونی دارای تکانه[۲۸]  صفر است. اگر میانگین افزایش برای هر دو نقطه در زمان برابر با اختلاف زمان ضرب در یک مقدار ثابت که یک عدد حقیقی است، باشد، می‌گویند فرایند تصادفی دارای تکانه است.

یک مسیر نمونه از فرایند وینر در همه جا پیوسته است، اما هیچ جا قابل تشخیص نیست. لذا می‌توان آن را به عنوان یک نسخه پیوسته از گام تصادفی ساده در نظر گرفت. این فرایند به عنوان حد ریاضی سایر فرایندهای تصادفی مانند برخی از گام‌های تصادفی خاص به دست می‌آید که موضوع قضیه دانسکر  [۲۹]یا اصل عدم تغییر [۳۰] است که به عنوان قضیه حد مرکزی نیز شناخته می‌شود.

فرایند وینر عضو برخی از خانواده‌های مهم فرایندهای تصادفی، از جمله فرایندهای مارکوف، فرایندهای لوی و فرایندهای گاوسی است. همچنین این فرایند کاربردهای زیادی دارد و اصلی‌ترین فرآیند تصادفی در حساب دیفرانسیل و انتگرال به شمار می‌آید. این فرایند نقش اساسی در مالی کمّی دارد و در موارد زیادی همانند مدل قیمت‌گذاری بلک-شولز-مرتون مورد استفاده قرار می‌گیرد. این فرایند همچنین در رشته‌های مختلفی از جمله بسیاری از علوم طبیعی و نیز برخی از شاخه های علوم اجتماعی به عنوان یک الگوی ریاضی برای پدیده‌های مختلف تصادفی استفاده می‌شود.   

جستارهای وابسته

  • عدم قطعیت
  • ریسک بازار
  • مدیریت غیر متمرکز ریسک

پانویس/ پاورقی

  1. ↑ Louis Bachelier
  2. ↑ Agner Krarup Erlang
  3. ↑ Index set
  4. ↑ State space
  5. ↑ Increment
  6. ↑ sample function
  7. ↑ realization
  8. ↑ Measure Theory
  9. ↑ Henri Lebesgue
  10. ↑ Émile Borel
  11. ↑ Paul Lévy
  12. ↑ Sergei Bernstein
  13. ↑ Aleksandr Khinchin
  14. ↑ Andrei Kolmogorov
  15. ↑ Eugene Slutsky
  16. ↑ Nikolai Smirnov
  17. ↑ Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
  18. ↑ Joseph Doob
  19. ↑ William Feller
  20. ↑ Maurice Fréchet
  21. ↑ Paul Lévy
  22. ↑ Wolfgang Doeblin
  23. ↑ Harald Cramér
  24. ↑ Kiyosi Itô
  25. ↑ Shizuo Kakutani
  26. ↑ Gilbert Hunt
  27. ↑ Paul-André Meyer
  28. ↑ drift
  29. ↑ Donsker's theorem
  30. ↑ invariance principle

منابع

  • Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. pp. 46, 47.
  • L. C. G. Rogers; David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. p. 1. ISBN 978-1-107-71749-7.
  •   J. Michael Steele (2012). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. p. 29. ISBN 978-1-4684-9305-4.
  • Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. pp. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
  • Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. p. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
  • Gagniuc, Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. NJ: John Wiley & Sons. pp. 1–235. ISBN 978-1-119-38755-8.
  • Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN 978-3-319-08488-6.
  • N.G. Van Kampen (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN 978-0-08-047536-3.
  • Russell Lande; Steinar Engen; Bernt-Erik Sæther (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852525-7.
  • Carlo Laing; Gabriel J Lord (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-923507-0.
  • Wolfgang Paul; Jörg Baschnagel (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-00327-6.
  • Edward R. Dougherty (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2513-3.
  • Thomas M. Cover; Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. p. 71. ISBN 978-1-118-58577-1.
  • Michael Baron (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition. CRC Press. p. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7.
  • Jonathan Katz; Yehuda Lindell (2007). Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press. p. 26. ISBN 978-1-58488-586-3.
  • François Baccelli; Bartlomiej Blaszczyszyn (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN 978-1-60198-264-3.
  • J. Michael Steele (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95016-7.
  • Jump up to:a b Marek Musiela; Marek Rutkowski (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-26653-2.
  • Steven E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-40101-0.
  • Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
  • Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press.
  • Jump up to:a b c d e f g h i Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970". A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. pp. 75–80. CiteSeerX 10.1.1.114.632. doi:10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170.
  • Jump up to:a b c d e f g h Stirzaker, David (2000). "Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary". The Mathematical Gazette. 84 (500): 197–210. doi:10.2307/3621649. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649.
  • Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. p. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  • Jump up to:a b c d Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes". International Statistical Review. 80 (2): 253–268. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN 0306-7734.
  • Dmytro Gusak; Alexander Kukush; Alexey Kulik; Yuliya Mishura; Andrey Pilipenko (2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. p. 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
  • Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. p. 42. ISBN 978-3-540-26312-8.
  • Jump up to:a b c d e f Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. pp. 24–25. ISBN 978-0-387-95313-7.
  • Jump up to:a b c d e f g h i j k l m n o p John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. pp. 1–2. ISBN 978-3-540-90275-1.
  • Jump up to:a b c d Loïc Chaumont; Marc Yor (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. p. 175. ISBN 978-1-107-60655-5.
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process

پیوند به بیرون

الگوهای ناوبری

رده

برگرفته از «https://www.bankipedia.ir/index.php?title=نوشتار_محتوا:فرآیند_کاملا_تصادفی_(Completely_Stochastic_Process)&oldid=5603»